Toufik Mansour(**)

(*) Giáo sư Vũ Hà Văn sinh ra và học tập đến hết trung học phổ thông tại Việt Nam. Năm 1994, ông nhận bằng Cử nhân tại Đại học Eötvös Loránd tại Budapest. Đến năm 1998, ông hoàn thành chương trình Tiến sĩ của mình tại Đại học Yale dưới sự hướng dẫn của Giáo sư László Lovász. Ông hiện là Giáo sư Toán tại Đại học Yale, Hoa Kỳ. Trước khi được bổ nhiệm vào ghế Giáo sư Danh hiệu Percey F. Smith ở Yale, ông đã có nhiều năm làm việc ở Viện Nghiên cứu cao cấp (IAS) thuộc Đại học Princeton, Viện nghiên cứu Microsoft Research, Đại học San Diego ở California, và Đại học Rutgers. Giáo sư Văn là diễn giả tại nhiều hội nghị, trong đó có thể kể đến lời mời diễn thuyết tại Hội nghị quốc tế về Toán học năm 2014. Giáo sư Văn đã được trao tặng một số giải thưởng quan trọng, gồm có giải Sloan Fellowship (2002), giải Polya (2008) và giải Fulkerson (2012). Năm 2012, ông trở thành thành viên danh dự của Hội Toán học Mỹ. Đến năm 2020 ông là hội viên danh dự của Viện Thống kê Toán học. Ông cũng là thành viên ban biên tập của Tạp chí Combinatorica và Tạp chí Combinatorial Theory, Series A.

Toufik Mansour: Chúng tôi rất cảm ơn ông đã nhận lời và dành thời gian tham gia buổi nói chuyện ngày hôm nay. Giáo sư có thể cho chúng tôi biết một cách khái quát toán tổ hợp là gì không thưa ông?

Vũ Hà Văn: Với tôi, toán tổ hợp là một phong cách toán hơn là một lĩnh vực toán học riêng biệt. Mỗi người đều có một góc nhìn khác nhau. Lúc đầu, toán tổ hợp chỉ được áp dụng một cách tự nhiên cho những đối tượng rời rạc, ví dụ như đồ thị. Sau đó, các nguyên lý chung được hình thành (một ví dụ điển hình là Bổ đề đều Szemerédi [1]) rồi được áp dụng sang nhiều lĩnh vực khác.

Toufik Mansour: Ông nghĩ gì về sự phát triển mối quan hệ giữa toán tổ hợp và phần còn lại của toán học?

Vũ Hà Văn: Trong những năm gần đây, các tư duy toán tổ hợp đã được sử dụng trong nhiều nhánh toán học, đôi khi có hiệu quả đáng kinh ngạc. Hóa ra trong nhiều nghiên cứu ở các lĩnh vực khác nhau, cốt lõi của đối tượng nghiên cứu lại chứa đựng một vấn đề có tính chất tổ hợp rất sâu sắc, vì thế các ý tưởng và công cụ từ tổ hợp đã trở nên rất cần thiết. Ví dụ, khái niệm Giả ngẫu nhiên (Pseudo-randomness), vốn bắt nguồn từ công trình về đồ thị của Thomasson [2] và Graham-Chung-Wilson [3], là điểm cực kỳ quan trọng trong Định lý Green [4] – Tao [5] về dãy số nguyên tố có chứa cấp số cộng độ dài bất kì (arbitrarily long arithmetic progressions). Bổ đề đều Szemerédi cũng được sử dụng khá phổ biến trong giải tích và xác suất. Nhiều công trình của tôi về các giá trị riêng (eigenvalue) của ma trận ngẫu nhiên (random matrix) và các nghiệm của hàm ngẫu nhiên dựa trên lý thuyết phản trung tâm hiện đại (modern anti-concentration theory), vốn là một lý thuyết được xây dựng dựa trên các tổng tập con và Định lý đảo Freiman [6] trong Lý thuyết số Tổ hợp. 

Ban đầu, các nhà lý thuyết toán tổ hợp đã mượn rất nhiều công cụ từ các lĩnh vực khác để chứng minh các định lý trong lĩnh vực của mình (phương pháp xác suất, phương pháp tô pô, v.v.). Bây giờ, tôi có thể tự hào nói rằng chúng tôi đang bắt đầu có những kết quả để đền đáp trở lại.

Toufik Mansour: Xin Giáo sư chia sẻ thêm về mục tiêu nghiên cứu chính của mình?

Vũ Hà Văn: Giống như mọi người, tôi thích giải các bài toán lớn/nổi tiếng. Tuy nhiên, song song với đó, tôi chú trọng hơn vào việc phát triển các công cụ và khái niệm mới, hoặc tìm ra các khái niệm mới, vì đó là thứ mà các nhà nghiên cứu có thể sử dụng cho nhiều mục đích khác nhau. Điều đó khiến toán học thực sự phát triển, chứ không phải là việc đi kiểm chứng các giả thuyết.

Toufik Mansour: Chúng tôi muốn hỏi về con đường đến với toán học và những trải nghiệm ban đầu của Giáo sư về lĩnh vực này? Nó có phải do ảnh hưởng từ gia đình hay người nào khác không?

Vũ Hà Văn: Cũng như hầu hết các nhà toán học khác, tôi đã theo học ở một ngôi trường chuyên khi tôi còn nhỏ (khoảng 10 tuổi). Người nhận ra tôi có năng khiếu về Toán là cô giáo tiểu học của tôi và cô đã trao đổi với bố mẹ tôi. Sau đó họ đã khuyến khích tôi chuyển trường.

Toufik Mansour: Vậy có bài toán đặc biệt nào khiến ông bắt đầu quan tâm đến tổ hợp không, thưa Giáo sư?

Vũ Hà Văn: Sau khi tốt nghiệp trung học, tôi nhận được học bổng ở Budapest, nhưng đó lại là của một trường đại học kỹ thuật. Ở đó, một trong các giáo viên toán của tôi, cô Kati Vesztergombi (vợ của Giáo sư Laci Lovász) có mở một câu lạc bộ toán và cô đã chỉ cho tôi Định lý Erdős (tôi nhớ đó là bài toán về các khoảng cách khác nhau). Tôi bị nó hấp dẫn (nhưng chỉ có thể đạt được một số thành tựu sau đó mười năm). Tôi cũng tham gia cuộc thi Schweitzer nổi tiếng và sau đó khoảng một năm thì cô Kati và Giáo sư Laci ủng hộ và thuyết phục tôi chuyển sang học toán.

Toufik Mansour: Lý do khiến ông chọn trường Đại học Yale và thầy hướng dẫn Laszlo Lovász cho chương trình làm Tiến sĩ của mình là gì?

Vũ Hà Văn: Vào thời điểm đó, Tây Âu vừa bước ra khỏi giai đoạn bức màn sắt và tôi không biết nhiều về hoạt động nghiên cứu cũng như các trường đại học của Mỹ. Tôi chọn thầy Lovász là thầy hướng dẫn của mình không chỉ vì đó là một lẽ tự nhiên, mà thầy đã để lại cho tôi ấn tượng mạnh về phong cách làm Toán của thầy.

Toán tổ hợp lúc đó còn khá mới ở Yale (1994), và hầu như các bạn nghiên cứu sinh khác đều không biết tôi đang nghiên cứu về cái gì. Trong thời gian nộp hồ sơ, tôi cũng nhận được lời đề nghị từ Viện Công nghệ Massachusetts (MIT). Tôi nhớ là vị chủ nhiệm khoa bên đó gọi và hỏi tôi có muốn tới học ở MIT không. Ông ấy tỏ ra rất băn khoăn khi tôi nói tôi chọn Yale để học về tổ hợp, vì vậy ông hỏi về người hướng dẫn của tôi. Khi tôi cho biết đó là thầy Lovász, ông ấy có vẻ nhẹ cả người và nói “Ồ, vậy cậu sẽ được hướng dẫn tốt” (“Oh, you will be in good hands”).

Toufik Mansour: Trong luận án của mình, ông đã làm việc với những bài toán gì?

Vũ Hà Văn: Có hai bài toán. Bài đầu tiên là xác định xem nghịch đảo của một ma trận (0, 1) cỡ n có thể lớn như nào. Câu hỏi này xuất phát từ một nghiên cứu của Giáo sư Dmitry Kozlov [7] và tôi về một bài toán tương đối ngây thơ là cân đồng xu. Chúng tôi đã giải được bài toán này cùng Giáo sư Noga Alon [8]. Bài toán thứ hai là về cung Serge trong hình học hữu hạn. Kích thước tối thiểu của một cung cực đại trên một mặt phẳng xạ ảnh hữu hạn là gì? (Một cung cực đại là một tập hợp gồm các điểm, mà trong đó không có ba điểm nào nằm trên một đường thẳng và nó là cực đại với tính chất này). Tôi đã làm việc cùng với Giáo sư Jeong Han Kim [9] để giải bài toán này và vẫn rất thích các kết quả đạt được hồi đó.

Toufik Mansour: Kim chỉ nam trong nghiên cứu của ông là gì, có phải là một câu hỏi lý thuyết tổng quát hay một bài toán cụ thể?

Vũ Hà Văn: Tôi thường hứng thú với các bài toán cụ thể, vì chúng có thể là mấu chốt của một lý thuyết lớn hơn. Tất nhiên, khi giải quyết được một bài toán khó, bạn nhận được sự công nhận và điều đó giúp cho sự nghiệp của bạn. Nhưng giá trị thật sự của lời giải lại là những ý tưởng và công cụ mới mà người khác có thể sử dụng cho các bài toán khác, đôi khi là hoàn toàn khác.

Toufik Mansour: Khi ông giải một bài toán, ông có cảm thấy bài toán có gì đó đúng từ trước khi ông chứng minh được nó không?

Vũ Hà Văn: Đa số các phỏng đoán của chúng tôi là đúng. Tôi không nghi ngờ Giả thuyết Riemann hay Giả thuyết Cặp số nguyên tố sinh đôi(Twin Prime). Thách thức thật sự là tìm ra lý do tại sao giả thuyết đó đúng. Tôi cho rằng điều thực sự quan trọng là hiện tượng và quan điểm mới khám phá ra hàm chứa bài toán (hay mấu chốt kỹ thuật của nó) như là một trường hợp đặc biệt. Đầu cuộc phỏng vấn, tôi đã nhắc đến công trình của Green [4] và Tao [5] về các số nguyên tố. Điều tuyệt vời mà họ đã tìm ra là một hiện tượng về cấp số cộng chứ không phải về số nguyên tố. Về cơ bản, họ đưa ra một điều kiện cần để tập hợp các số nguyên tố chứa các cấp số cộng độ dài bất kì (arbitrarily long arithmetic progressions). Đó là sự đổi mới trong toán học, được hoàn thành nhờ sự trợ giúp của khái niệm giả ngẫu nhiên từ toán tổ hợp. Phần kiểm chứng các điều kiện này đối với số nguyên tố có thể được thực hiện bằng các công cụ tiêu chuẩn từ lý thuyết số học giải tích.

Toufik Mansour: Theo ông, ba kết quả có sức ảnh hưởng nhất trong toán tổ hợp trong ba mươi năm qua là gì?

Vũ Hà Văn: Đầu tiên, tôi nghĩ cần đề cập đến Định lý đảo Freiman [6]. Tiếp theo là Bổ đề đều Szemerédi [1]. Cả hai đã được chứng minh hơn ba mươi năm trước, nhưng chúng lại có tác động sâu sắc suốt ba mươi năm qua và trong rất nhiều lĩnh vực khác nhau của toán học. Cuối cùng là sự phát triển của nibble method và các biến thể, tinh lọc của nó (chẳng hạn như differential method hoặc absorbing method). Nó bắt đầu từ một bài nghiên cứu của Ajtai, Komlos và Szemerédi [10] (tôi nghĩ vậy), nhưng hầu hết các nhà nghiên cứu hàng đầu trong lĩnh vực tổ hợp xác suất đã áp dụng phương pháp này và bổ sung nhiều ý tưởng mới quan trọng để khiến nó mạnh hơn. 

Toufik Mansour: Xin Giáo sư hãy chia sẻ cho chúng tôi biết ba câu hỏi mở đứng đầu danh sách các câu hỏi của ông?

Vũ Hà Văn: Tôi đoán chúng ta đều muốn biết lí do tại sao Giả thuyết Riemann lại đúng. Thứ hai là liệu có cách tiếp cận nào khác với Định lý Bốn Màu (và nhiều bài toán khác liên quan đến tính chất này) hay không?

Một cách tiếp cận thuyết phục được chúng ta rằng định lý là đúng cần phải dựa trên một số thực tế cơ bản. Cuối cùng là một lời giải cho các khoảng cách riêng biệt theo mọi chiều không gian, vì nó gợi tôi nhớ đến những kỷ niệm đẹp từ những ngày tôi còn ở Budapest. (Trường hợp không gian hai chiều đã được Guth và Katz [11] chứng minh gần đây).

Toufik Mansour: Trong tương lai mười đến hai mươi năm tới, ông muốn tiếp tục nghiên cứu lĩnh vực toán học nào, thưa ông?

Vũ Hà Văn: Như tôi đã đề cập trước đó, toán tổ hợp bắt đầu tạo ra các phương pháp và công cụ được các nhà nghiên cứu từ nhiều lĩnh vực khác nhau quan tâm. Tôi thực sự muốn thấy xu hướng này tiếp tục. Cách đây không lâu, hầu hết mọi người đều nhìn nhận toán tổ hợp như là một bộ sưu tập các bài toán và ý tưởng thông minh, nhưng chỉ dành cho mục đích có sẵn. Quan niệm này cần phải thay đổi. Chúng ta phải xây dựng thêm nhiều lý thuyết, phương pháp và công cụ có sức ảnh hưởng vượt qua ranh giới của toán học.

So với các lĩnh vực toán học khác, toán tổ hợp có một lợi thế lớn ở chỗ nó khá gần với các ứng dụng ngoài đời thực. Khi một học viên giải thích vấn đề mà mình đang gặp phải cho một nhà toán học, tôi dám chắc là một nhà toán tổ hợp sẽ có thể hiểu rõ hoặc thậm chí đề xuất được ngay một giải pháp, hơn là một nhà nghiên cứu từ một lĩnh vực trừu tượng. Tôi muốn chứng kiến sự thâm nhập nhiều hơn nữa của các ứng dụng toán tổ hợp vào các lĩnh vực ngoài toán học. Ứng dụng của đồ thị De Brujin trên bộ gen là một ví dụ tuyệt vời.

Toufik Mansour: Ông có nghĩ rằng có cốt lõi hay lĩnh vực chủ lưu trong toán học không? Có một số chủ đề toán học quan trọng hơn những chủ đề khác?

Vũ Hà Văn: Tôi nghĩ điều đó còn tùy thuộc vào quan điểm của mỗi người làm toán, và mỗi nhánh toán học có giá trị riêng của nó. Tuy nhiên, từ quan điểm về ứng dụng, tôi nghĩ rằng xác suất và thống kê ngày càng trở nên quan trọng. Trong tương quan với khoa học nói chung và các ngành nói riêng, chúng có thể có vai trò quan trọng tương đương toán tích phân thời Newton.

Toufik Mansour: Thưa Giáo sư, ông nghĩ gì về sự phân biệt rành mạch giữa toán học thuần túy và toán học ứng dụng mà một số nhà toán học chú trọng? Nó có ý nghĩa đối với ông không? Ông thấy mối quan hệ giữa cái gọi là toán học “thuần túy” và toán học “ứng dụng” là như thế nào?

Vũ Hà Văn: Không, tôi thậm chí không chắc người ta định nghĩa sự phân biệt rành mạch đó như thế nào. Cá nhân tôi đánh giá cao loại toán học có thể giải thích được và có ý nghĩa (ít nhất là động lực và kết quả) cho sinh viên cao học, bất kể lĩnh vực hoặc cái mác “thuần túy” hay “ứng dụng”. Khi toán học có ý nghĩa, nó hấp dẫn và đẹp đẽ. Thật không may, khá nhiều các nhánh ngày càng trở nên trừu tượng hơn, và bây giờ chúng ta có quá nhiều bài giảng chuyên đề mà hầu hết người nghe lạc lối sau ba phút đầu tiên. Là người phụ trách chương trình đào tạo sau đại học của khoa toán học trường đại học Yale, tôi cần đề cập tới việc này như là một vấn đề nghiêm trọng đối với sinh viên.

Toufik Mansour: Ông sẽ đưa ra lời khuyên gì cho những bạn trẻ đang muốn theo đuổi con đường nghiên cứu toán học?

Vũ Hà Văn: Theo tôi, hầu hết các nhà toán học yêu việc họ làm, bởi vì họ được làm những gì họ thích. Đây là phần thưởng giá trị nhất của chúng tôi. Nếu một người làm việc này để tìm kiếm hào quang, thì cơ hội rất cao là người đó sẽ cảm thấy thất vọng.

Trước đây cũng khá lâu rồi, Terry Tao viết một bài luận thú vị “Liệu có phải thiên tài mới đi làm Toán”. Điều này được nói ra từ anh chàng thiên tài toán học ấy thì nghe có vẻ hơi buồn cười. (Câu trả lời của anh ấy là Không, nhưng nó nghe sẽ thuyết phục hơn nhiều nếu nó đến từ tôi, ví dụ vậy).  Nhưng tôi hoàn toàn đồng ý với quan điểm của anh ấy và rất khuyến khích các nhà nghiên cứu trẻ thử một phen xem sao.

Toufik Mansour: Ông có sở thích nào ngoài Toán học không?

Vũ Hà Văn: Tôi thích du lịch và là một “fan” thể thao và phim ảnh. Khoảng mười năm trước, tôi bắt đầu viết một trang blog bằng Tiếng Việt. Tôi cảm thấy nó khá thư giãn và giải trí.

Toufik Mansour: Trước khi chúng ta kết thúc cuộc phỏng vấn với một trong các chuyên gia hàng đầu về toán tổ hợp, tôi muốn hỏi một vài câu hỏi toán học cụ thể. Tính phổ dụng (universality) nghĩa là gì trong lý thuyết ma trận ngẫu nhiên? Liên quan đến vấn đề này, những kết quả quan trọng là gì? Theo hướng nghiên cứu này, liệu vẫn còn những câu hỏi mở mang tính thách thức? Xin Giáo sư hãy chia sẻ thêm.

Vũ Hà Văn: Thật ra, câu chuyện xoay quanh quan niệm này khá thú vị. Có hai cách diễn giải khác nhau. Thủa đầu, lý thuyết ma trận ngẫu nhiên được nghiên cứu chủ yếu bởi các nhà vật lý, những người đặc biệt quan tâm đến sự tương tác giữa các giá trị riêng lân cận nhau (nearby eigenvalue). Sự tương tác này có thể được thể hiện qua một tham số gọi là hàm tương quan. Nó có thể tính toán chính xác cho các ma trận với các phần tử Gauss, nhờ vào các tính chất đặc biệt của phân phối Gauss. Giả thuyết nguyên bản về tính phổ dụng cho rằng hàm tương quan không phụ thuộc vào việc phân phối các phần tử. Ví dụ, nếu chúng ta thay phân phối Gauss bằng một phân phối khác, chúng ta vẫn nhận được (tiệm cận) cùng một hàm tương quan. Đây là phỏng đoán chính trong cuốn sách “Các ma trận ngẫu nhiên” của Mehta [12], cuốn sách vẫn được coi là tài liệu tham khảo quan trọng trong vài thập kỷ qua.

Terry Tao và tôi bắt đầu làm việc với tính chất phổ (spectral property) của ma trận ngẫu nhiên từ mười lăm năm trước. Chúng tôi thực ra không biết nhiều các nghiên cứu và tri thức đã có về vật lý toán. Quan điểm thuần túy của chúng tôi là đại số tuyến tính. Nói chung, chúng tôi nghĩ rằng tất cả các phân phối giới hạn liên quan đến tham số tính chất phổ (limiting distributions concerning spectral parameters) của ma trận ngẫu nhiên (giá trị riêng, vector riêng, định thức…) là phổ dụng, cụ thể là chúng sẽ không phụ thuộc vào việc phân phối các phần tử. “Tính phổ dụng” này đúng trong hầu hết các trường hợp được xem xét cho đến nay, bao gồm cả trường hợp đặc biệt của hàm tương quan.

Hai mươi năm vừa qua chúng ta đã chứng kiến một khối lượng khổng lồ các công trình liên quan đến ma trận ngẫu nhiên, với một số đột phá dẫn đến lời giải cho các bài toán lâu đời và nổi tiếng. Theo tôi, hầu hết các câu hỏi chính về phân phối giới hạn phổ (spectral limit distribution) đã được giải quyết (cho các mô hình ma trận ngẫu nhiên được nghiên cứu nhiều nhất), ví dụ như Giả thuyết Circular Law [13] (ma trận tương tự phi-hermit của định luật bán nguyệt Wigner/the non–hermitian analog of Wigner semi-circle law [14, 15]) hay Giả thuyết của Mehta mà tôi đã nhắc đến phía trên. Nhiều câu hỏi quan trọng vẫn còn để ngỏ, ví dụ như Giả thuyết Localization [16]. Với câu hỏi này, chúng ta cần hiểu toàn diện mô hình khác của các ma trận ngẫu nhiên, mà theo tôi là hấp dẫn với các nhà vật lý hơn là các nhà toán tổ hợp.

Toufik Mansour: Việc nghiên cứu các đa thức ngẫu nhiên, do Marc Kac khởi xướng, cũng đã thúc đẩy nhiều chương trình nghiên cứu và tài liệu phong phú về chủ đề này. Ông có thể cho chúng tôi biết ngắn gọn về các kết quả mang tính dấu ấn trong lịch sử của chủ đề này không? Các vấn đề lớn vẫn còn bỏ ngỏ là gì?

Vũ Hà Văn: Thực ra, Kac không khởi xướng nghiên cứu về đa thức ngẫu nhiên. Khái niệm về đa thức ngẫu nhiên được nhắc đến từ trước bởi Waring và Sylvester [17]. Kết quả chính thức đầu tiên được chứng minh bởi Bloch và Polya [18] khoảng mười năm trước khi Kac [19,20] tham gia. Tuy nhiên, các kết quả của Littlewood Offord [21, 22, 23] và Kac (vào những năm 1940) thu hút sự chú ý của cộng đồng toán học và khiến nó trở thành tiêu điểm của cả giải tích lẫn xác suất.

Một cách ngắn gọn, một đa thức ngẫu nhiên có dạng

Tương tự như trường hợp ma trận ngẫu nhiên, công thức chính xác có thể thu được cho trường hợp Gauss (khi tất cả ξ_i là biến iid Gauss). Một lần nữa, người ta lại đưa ra phỏng đoán về tính phổ dụng. Điều này đã được giải quyết trong nhiều trường hợp khác nhau nhưng rất nhiều câu hỏi cơ bản vẫn đang bỏ ngỏ. Ví dụ như, có đúng là số các nghiệm thực tuân theo định lý giới hạn trung tâm hay không? Câu trả lời là có cho đa thức Kac, đó cũng là kết quả của của Maslova [24, 25] từ những năm 1970, cách đây gần năm mươi năm. Tuy nhiên, chúng ta vẫn không biết câu trả lời cho tập hợp Weyl và nhiều tập hợp khác nữa.

Toufik Mansour: Tại một trong những bài báo có ảnh hưởng của ông, mà đồng tác giả là Terence Tao, “Inverse Littlewood-Offord theorems and the condition number of random discrete matrices”, công bố trên Annals of Mathematics, ông đã phát triển Định lý đảo Littlewood-Offord. Các kết quả của Định lý này là gì và tại sao chúng quan trọng, thưa ông?

Vũ Hà Văn:  Trong chuỗi các bài báo về đa thức ngẫu nhiên từ những năm 1940 (đã nêu trên), Littlewood và Offord [21, 22, 23] đã phát triển kết quả phản tập trung (famous anti-concentration result).  Ở dạng đơn giản nhất, kết quả chỉ ra rằng nếu a_i là các số nguyên khác 0, và ξ_i là các biến ngẫu nhiên iid ±1, thì tổng

Hướng đi tổng quát đó là tạo thêm nhiều giả thiết cho a_i và chứng minh các giới hạn sắc nét hơn. Ví dụ, một kết quả nổi tiếng của Sárközy- Szemerédi và Stanley đã chứng minh rằng giới hạn (bound) có thể cải thiện thành O(1/n^3/2) nếu chúng ta giả định các a_i là khác nhau.

Terry và tôi đã đưa vào bài toán này một quan điểm khác. Chúng tôi giả định rằng ρ tương đối lớn (ρ ≥ n^-100), và thử đặc tính hóa tất cả các tập hợp của a_i mà làm cho ρ lớn tới cỡ như vậy. Ý tưởng này được thúc đẩy bởi Định lý Freiman nghịch đảo trên các tổng con, đó là lý do chúng tôi đặt tên là Định lý đảo Littlewood-Offord. Hóa ra, việc đặc tính hóa là có thể. Chúng tôi đã chứng minh rằng a_i phải có cấu trúc cộng tính mạnh (strong additive structure) để ρ lớn. Sau đó, các nhà nghiên cứu đã tìm được các đặc tính hóa khác nhau. Một đặc tính hóa hữu ích do Rudelson và Vershynin đặt ra, họ đã đưa ra quan niệm về ước chung nhỏ nhất tiệm cận.

Kết quả mới đã có một số ứng dụng. Đầu tiên, nó hàm ý hầu hết các kết quả cổ điển “đúng từ trước”, chẳng hạn như kết quả của Sárközy và Szemerédi đã đề cập ở trên. Quan trọng hơn, nó đóng vai trò quyết định trong việc nghiên cứu các ma trận ngẫu nhiên và các hàm ngẫu nhiên. Cho phép tôi đưa ra một ví dụ ứng dụng trong lý thuyết ma trận ngẫu nhiên. Ở đây, một tham số thường xuyên xuất hiện là khoảng cách từ một vector ngẫu nhiên X đến một siêu phẳng H. Nếu tọa độ của X là x và tọa độ vector pháp tuyến của H là a_i, thì khoảng cách này là giá trị tuyệt đối của S. Thông thường, chúng ta biết điều gì đó của H đảm bảo rằng a_i không có cấu trúc cộng tính nào. Do đó, theo Định lý nghịch đảo, chúng ta có thể kết luận rằng với xác suất cao, khoảng cách được đề cập không phải là 0, hoặc X không thuộc H. Thực tế, Định lý nghịch đảo cũng cho phép chúng ta thay thế P(S = a) bằng xác suất để S thuộc một khoảng ngắn hơn có tâm tại a. Bằng cách này, chúng ta có thể giới hạn khoảng cách từ bên dưới. Dữ kiện này đóng một vai trò tối quan trọng trong việc nghiên cứu giá trị ít kì dị nhất và luật vòng tròn (the least singular value and the circular law). Đây là một trong những bài báo mà tôi thích thú, trong lúc các ứng dụng dường như hoàn toàn thuộc về xác suất thì nhân tố mới và quan trọng lại đến từ toán tổ hợp.

Toufik Mansour: Ông có thể giải thích ngắn gọn về khái niệm phản trung tâm (anti-concentration) không? Hiện tượng mới này được quan sát trong những bài toán nào? Ông có thể chỉ ra một số hướng nghiên cứu trong tương lai?

Vũ Hà Văn: Cho ξ₁,…,ξ_n là các biến ngẫu nhiên thực iid và F = F(ξ₁,…,ξ_n) là các hàm số thực. Một kết quả điển hình của phản trung tâm khẳng định rằng xác suất F trong khoảng ngắn I là nhỏ. Định lý Littlewood-Offord là một ví dụ khi F là một hàm tuyến tính. Định lý đảo cho ta một cách hiểu khá thỏa mãn trong trường hợp tuyến tính này. Tuy nhiên, đối với các hàm khác (như đa thức bậc cao), chúng ta khó có được một bức tranh hoàn chỉnh.

Toufik Mansour: Trong bài báo “Finite and infinite arithmetic progressions in sumsets” [32] của ông, với đồng tác giả Endre Szemerédi, xuất bản tại Annals of Mathematics, ông đã chứng minh một phỏng đoán của Folkman, bằng cách chỉ ra rằng nếu A là một tập hợp các số tự nhiên có mật độ tiệm cận (asymptotic density) ít nhất là cn^1/2 để cho hằng số c đủ lớn thì tập hợp tất cả các tổng tập con của A chứa một cấp số cộng vô hạn. Những ý tưởng đột phá trong lời giải của giả thuyết lâu đời này là gì?

Vũ Hà Văn: Đầu tiên, chúng tôi tạo các cấp số cộng dài (arithmetic progressions) (AP) và sau đó hợp nhất chúng lại với nhau. Cách tiếp cận ban đầu cho vấn đề này, về mặt tinh thần, hơi giống với cách tiếp cận của Green [4] và Tao [5] đối với các AP dài ở dạng số nguyên tố. Chúng tôi đã cố gắng đặc tính hóa tất cả các tập lớn mà có tập hợp các tập con không chứa (đủ) AP và phát hiện ra lý do chính ở đây là tập hợp này tự thân nó là tổng của hai AP gốc. Trong trường hợp này, tập hợp các tổng của tập hợp con có cấu trúc giống nhau. Vì vậy, bài toán thực sự trở thành một bài toán hai chiều. Bạn có thể coi tập hợp các tổng của tập hợp con là một hình chữ nhật không chứa bất kỳ AP nào dài hơn hai cạnh của nó. Tuy nhiên, nếu c đủ lớn, vật thể hai chiều phải tự “quấn quanh” (“wrap around”) và tạo ra một AP dài. Người ta có thể đạt được điều này thông qua một đối số lát ngẫu nhiên (a random tiling argument), nhưng các chi tiết việc này rất phức tạp. Chúng tôi đã mất vài tháng để viết ra nó sau khi có một bản phác thảo khá thuyết phục. Đây là bài báo mà tôi đã học được từ Endre rất nhiều về toán tổ hợp cộng tính (additive combinatorics).

Toufik Mansour: Trong công việc của mình, ông đã sử dụng rất sâu rộng lý luận toán tổ hợp để giải các bài toán quan trọng. Làm thế nào để các kỹ thuật gắn vào được các nghiên cứu của ông?

Vũ Hà Văn: Vâng, tôi dùng rất thường xuyên. Tuy nhiên, đối với chúng tôi, điều quan trọng hơn là phải có một ước lượng “mềm” về một tham số (như xác định độ lớn của nó) hơn là tính toán chính xác hoặc để đạt được một công thức đóng (có thể sẽ rất khó định lượng). Trên thực tế, một trong những mục đích chính của Lý thuyết đảo là cung cấp cho chúng ta đặc tính hóa của một số tập hợp “xấu” để chúng ta có thể ước tính kích thước (hoặc xác suất) của chúng.

Toufik Mansour: Khi chúng tôi đọc các bài báo khoa học của ông, chúng tôi thấy rằng các lập luận về tổ hợp và xác suất đóng vai trò quan trọng trong nghiên cứu của ông. Ông có nhận xét gì về sự tác động lẫn nhau giữa tổ hợp và xác suất?

Vũ Hà Văn: Một mặt, phương pháp xác suất là một trong những phương pháp hiệu quả và mạnh mẽ trong toán tổ hợp. Mặt khác, các ý tưởng tổ hợp có thể được sử dụng để xây dựng các công cụ xác suất mới hoặc dẫn đến những ý tưởng mới trong lý thuyết xác suất.

Ở mức độ sâu hơn, tôi cảm thấy những nhà nghiên cứu ở các lĩnh vực giải tích, tổ hợp và xác suất thường có sự hứng thú với cùng những thứ giống nhau. Rất khó để đặt tên cho những thứ đó, nhưng thông thường chúng là những hiện tượng tổng quát (như là giả ngẫu nhiên (pseudo-randomness) hoặc độ lệch lớn (large deviation) hoặc phản tập trung (anti-concentration) hoặc tính siêu co (hypercontractivity) hoặc mở rộng (expansion)). Với một số kinh nghiệm, người ta có thể cảm nhận được sự liên quan ngay cả khi kết quả xuất hiện ở các hình dạng không quen thuộc.

Toufik Mansour: Trong các công trình của mình, ông có một số tham chiếu tới Paul Erdős. Ông đã tiếp xúc với ông ấy bao giờ chưa? Kết quả nào của ông ấy khiến ông bị thu hút nhất? Có một cuốn sách đã viết về Paul Erdős, mang tựa đề “Người chỉ yêu những Con số”. Ông có nghĩ rằng nói “Người đàn ông yêu Đồ thị” sẽ là một mô tả chính xác hơn về ông ấy hay không?

Vũ Hà Văn: Vâng. Tôi đã gặp Erdős hai lần. Cả hai lần đều đáng nhớ. Lần đầu tiên, tôi là một sinh viên ở Budapest. Kati (Vesztergombi) giới thiệu tôi đến Erdős khi ông đang thăm viện Renyi (có thể vào khoảng năm 1992). Tôi không biết trước về cuộc gặp gỡ và không chuẩn bị bất kỳ vấn đề toán học nào, vì vậy tôi đã thổi bay cơ hội của mình để có số Erdős số 1 (số của tôi vẫn là 2). Thay vào đó chúng tôi đã nói một chút về chiến tranh Việt Nam.

Lần thứ hai tôi là một nghiên cứu sinh tại đại học Yale. Ông ấy có một bài giảng chuyên đề ở đó. Sau đấy chúng tôi đã nói một chút về luận án của tôi. Ông ấy từ chối tin vào kết quả của tôi làm với Noga Alon [8] về cân đồng xu. Bài toán thế này: có n đồng xu với hai trọng lượng cho phép. Cần bao nhiêu lần cân để chắc chắn rằng tất cả các đồng xu nặng giống nhau (hay không)? (Như thường lệ, ở một lần cân, người ta có thể cân bất kỳ k đồng xu nào ở đĩa cân này so với k đồng khác ở đĩa cân còn lại). Câu trả lời là logn/loglogn; nhưng ông ấy khăng khăng rằng nó phải là logn, mạnh mẽ đến mức tôi bắt đầu hoảng sợ và nghĩ rằng một cái gì đó đã thực sự sai.

Erdős đã viết rất nhiều bài báo có ảnh hưởng trong rất nhiều lĩnh vực toán học khác nhau, không chỉ lý thuyết số và lý thuyết đồ thị. Nếu nhìn vào logic hoặc xác suất hoặc giải tích, bạn sẽ tìm thấy các kết quả cơ bản mang tên ông. Hay là ta đặt tên cuốn sách là “Người đàn ông yêu Toán học”?

Toufik Mansour: Có bài toán cụ thể nào ông nghiên cứu suốt nhiều năm qua không? Tiến triển ông đạt được như thế nào rồi?

Vũ Hà Văn: Tôi đang nghiên cứu một số câu hỏi cơ bản liên quan đến đa thức ngẫu nhiên và các ma trận ngẫu nhiên. Cơ bản đến mức thật đáng xấu hổ khi chúng ta không thể giải quyết chúng. Nhưng có thể một ngày nào đó…

Toufik Mansour: Giáo sư Vũ, thay mặt cho tạp chí Enumerative Combinatorics and Applications, tôi muốn cảm ơn ông vì cuộc phỏng vấn rất thú vị này.

Dịch bài: Nguyễn Thị Thu Hằng, Nguyễn Phúc Khánh Linh

Biên tập: Nguyễn Phương Văn

Tài liệu tham khảo

1. E. Szemer´edi, Regular partitions of graphs, in: Proc. Colloque Inter. CNRS (J.-C. Bermond, J. -C. Fournier, M. Las Vergnas and D. Sotteau eds.), 1978, 399–401.
2. A. Thomason, Pseudo-random graphs, Annals of Discrete Math. 33 (1987), 307–331.
3. F. R. K. Chung, R. L. Graham and R. M. Wilson, Quasi-Random Graphs, Comb. 9:4 (1989), 345–362.
4. B. Green, Long arithmetic progressions of primes, in W. Duke, Y. Tschinkel (eds.), Analytic number theory, Clay Mathematics Proceeding 7, Providence, RI: American Math. Soc. (2007), 149–167.
5. T. Tao, Arithmetic progressions and the primes, Collectanea Mathematica, Vol. Extra (2006), 37–88.
6. G.A. Freiman, Inverse problems of additive number theory, VI. On the addition of finite sets, III, Izv. Vysˇs. Uˇcebn. Zaved. Matematika 3 (1962), 151–157.
7. D. N. Kozlov and V. H. Vu, Coins and Cones, J. Comb. Theory, Ser. A 78:1 (1997), 1–14.
8. N. Alon, D. N. Kozlov and V. H. Vu, The geometry of coin-weighing problems, FOCS (1996), 524–532.
9. J. H. Kim and V. H. Vu, Small complete arcs in projective planes, Comb. 23:2 (2003) 311–363.
10. M. Ajtai, J. Koml´os and E. Szemer´edi, A note on Ramsey numbers, J. Combin. Theory Ser. A 29:3 (1980), 354–360.
11. L. Guth and N. H. Katz, On the Erd˝os distinct distances problem in the plane, Ann. Math. 181 (2015), 155–190.
12. M. L. Mehta, Random Matrices, 3rd edition, Academic Press, New York, 2004.
13. T. Tao and V. Vu, Random Matrices: Universality of ESDs and the circular law, Ann. Prob. 38:5 (2010), 2023–2065.
14. E. Wigner, Characteristic vectors of bordered matrices with infinite dimensions, Ann. Math. 62 (1955), 548–564.
15. E. Wigner, On the distribution of the roots of certain symmetric matrices, Ann. Math. 67 (1958), 325–328.
16. G. Stolz, An introduction to the mathematics of Anderson localization, arXiv:1104.2317v1 [math-ph], 2011.
17. I. Todhunter, A history of the mathematical theory of probability, Stechert, New York, 1931.
18. A. Bloch and G. P´olya, On the roots of certain algebraic equations, Proc. London Math. Soc. 33 (1932), 102–114.
19. M. Kac, On the average number of real roots of a random algebraic equation, Bull. Amer. Math. Soc. 49, (1943), 314–320. Erratum: Bull. Amer. Math. Soc. 49, (1943), 938.
20. M. Kac, On the average number of real roots of a random algebraic equation. II, Proc. London Math. Soc. 50 (1949), 390–408.
21. J. E. Littlewood and A. C. Offord, On the number of real roots of a random algebraic equation. I, J. London Math. Soc. 13 (1938), 288–295.
22. J. E. Littlewood and A. C. Offord, On the number of real roots of a random algebraic equation. II, Proc. Cambridge Philos. Soc. 35 (1939), 133–148.
23. J. E. Littlewood and A. C, Offord, On the number of real roots of a random algebraic equation. III, Rec. Math. [Mat. Sbornik] N.S. 54 (1943), 277–286.
24. N. B. Maslova, The variance of the number of real roots of random polynomials, Teor. Verojatnost. i Primenen. 19 (1974), 36–51.
25. N. B. Maslova, The distribution of the number of real roots of random polynomials, Theor. Probability Appl. 19 (1974), 461–473.
26. T. Tao and V. H. Vu, Inverse Littlewood–Offord theorems and the condition number of random discrete matrices, Ann. Math. 169:2 (2009), 595–632.
27. D. Kleitman, On a lemma of Littlewood and Offord on the distributions of linear combinations of vectors, Advances in Math. 5 (1970), 155–157.
28. A. S´ark¨ozy and E. Szemer´edi, Uber ein problem von Erd˝os und Moser ¨ , Acta Arithmetica 11 (1965), 205–208.
29. R. Stanley, Weyl groups, the hard Lefschetz theorem, and the Sperner property, SIAM J. Algebraic Discrete Methods 1:2 (1980), 168–184.
30. G. Hal´asz, Estimates for the concentration function of combinatorial number theory and probability, Period. Math. Hungar. 8:3-4 (1977), 197–211.
31. M. Rudelson and R. Vershynin, The Littlewood-Offord Problem and invertibility of random matrices, Advances in Math. 218 (2008), 600–633.
32. E. Szemer´edi and V. H. Vu, Finite and infinite arithmetic progressions in sumsets, Ann. Math. 163 (2006), 1–35.